中高考数学压轴题破解方法

一、引言

中高考数学压轴题往往以灵活的题型、新颖的设计和富有创意的解题思路著称。其中，以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为压轴大戏的主角。然而，这些传说中的主角，并没有大家想象的那么神秘，只是我们需要找出这些压轴题目的切入点。本文将为大家整理压轴题的破解方法，供大家参考。

二、切入点一：构造定理所需的图形或基本图形

在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于中高考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中高考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。

例1：

已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边BC上，AD⊥BC。

求证：∠BAC=∠ABC。

证明：

连接BD，作BE⊥AC于E。

由三垂线定理知：∠BAC=∠BDE。

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDE=∠BEC。

∴∠BAC=∠BEC。

∵BE∥AC，

∴∠ABC=∠BEC。

∴∠BAC=∠ABC。

点评：

本题通过构造∠BAC=∠BDE和∠BDE=∠BEC，将证明∠BAC=∠ABC转化为证明∠BAC=∠BEC，从而得到∠BAC=∠ABC。

三、切入点二：做不出、找相似，有相似、用相似

压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。

例2：

在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=6，AC=8，点D在边AB上，AD=4。

求CD的长度。

解析：

作DF⊥BC于F。

由勾股定理知：AB²=AC²+BC²。

∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10。

由勾股定理知：CD²=AD²-AC²。

∴CD=√(AD²-AC²)=√(4²-8²)=√(16-64)=-8。

∵CD为线段长度，∴CD=-8不成立。

∴CD=8。

点评：

本题通过构造直角三角形ABD和直角三角形ACF，将求CD的长度转化为求AF的长度，从而得到CD的长度。

四、切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论

在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。

例3：

在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，点C(m,n)。

求m和n的值。

解析：

由点A和点B的坐标可知，AB的斜率为1。

∴AB的方程为：y=x+1。

将点C的坐标代入AB的方程中，得：

n=m+1。

由点A和点B的坐标可知，AC和BC的斜率分别为：

k₁=(n-2)/(m-1)，k₂=(n-4)/(m-3)。

∵AC和BC垂直，

∴k₁×k₂=-1。

∴(n-2)/(m-1)×(n-4)/(m-3)=-1。

∴(n-2)(n-4)=(m-1)(m-3)。

∴n²-6n+8=m²-4m+3。

∴m²-4m+3=n²-6n+8。

∴m²-4m+3-n²+6n-8=0。

∴(m-2)²+(n-3)²=1。

∴m-2=±1，n-3=±1。

∴m=3或1，n=4或2。

点评：

本题通过紧扣不变量AC和BC的斜率，以及前题所采用的方程求解方法，得到m和n的值。

五、切入点四：在题目中寻找多解的信息

图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种。

例4：

在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，点C(m,n)。

求m和n的值。

解析：

由点A和点B的坐标可知，AB的斜率为1。

∴AB的方程为：y=x+1。

将点C的坐标代入AB的方程中，得：

n=m+1。

由点A和点B的坐标可知，AC和BC的斜率分别为：

k₁=(n-2)/(m-1)，k₂=(n-4)/(m-3)。

∵AC和BC垂直，

∴k₁×k₂=-1。

∴(n-2)/(m-1)×(n-4)/(m-3)=-1。

∴(n-2)(n-4)=(m-1)(m-3)。

∴n²-6n+8=m²-4m+3。

∴m²-4m+3-n²+6n-8=0。

∴(m-2)²+(n-3)²=1。

∴m-2=±1，n-3=±1。

∴m=3或1，n=4或2。

点评：

本题在求解过程中，需要注意到点C可能位于直线AB的下方，因此需要分两种情况进行讨论。

六、总结

中高考数学压轴题虽然难度较大，但只要掌握正确的解题方法，就能够迎刃而解。以上四种切入点可以帮助我们更好地解决压轴题。在平时的学习中，我们要多练习、多总结，不断提高自己的数学能力。